已知 $F$ 是抛物线 $y^{2} = x$ 的焦点，点 $A$，$B$ 在该抛物线上且位于 $x$ 轴的两侧， $\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} = 2$（其中 $O$ 为坐标原点），则 $\triangle ABO$ 与 $\triangle AFO$ 面积之和的最小值是（ ）

\begin{answer} B \end{answer}

\begin{solution} 设 $A=(u^2,u)$，$B=(v^2,v)$，其中 $u>0>v$. 由 $\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=2$，得 令 $t=uv<0$，则 $t^2+t-2=0$，所以 $t=-2$，即 $uv=-2$. 抛物线 $y^2=x$ 的焦点为 $F\left(\frac14,0\right)$. 因此 $S_{\triangle ABO}=\frac12|u^2v-v^2u|=u-v$，$S_{\triangle AFO}=\frac12\cdot\frac14\cdot u=\frac{u}{8}$. 又由 $v=-\frac2u$，有 等号条件为 $u=\frac43$，此时 $v=-\frac32$，满足 $u>0>v$，所以等号确实可以取得. 故最小值为 $3$，选 B. \end{solution}