设等差数列 $\{a_{n}\}$ 的公差为 $d$，点 $(a_{n}, b_{n})$ 在函数 $f(x) = 2^{x}$ 的图象上（$n \in \mathbf{N}^{*}$）.

(1) 证明：数列 $\{b_{n}\}$ 为等比数列； (2) 若 $a_{1} = 1$，函数 $f(x)$ 的图象在点 $(a_{2}, b_{2})$ 处的切线在 $x$ 轴上的截距为 $2 - \frac{1}{\ln 2}$，求数列 $\{a_{n} b_{n}^{2}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$.

\begin{solution} \begin{enumerate} \item 因为点 $(a_n,b_n)$ 在 $y=2^x$ 的图象上，所以 $b_n=2^{a_n}$. 又 $a_{n+1}=a_n+d$，故 这个比值与 $n$ 无关，所以 $\{b_n\}$ 是以 $2^d$ 为公比的等比数列. \item 函数 $f(x)=2^x$ 的导数为 $f'(x)=2^x\ln2$. 在点 $(a_2,b_2)$ 处的切线方程为 令 $y=0$，得该切线在 $x$ 轴上的截距为 $a_2-\frac1{\ln2}$. 由题设及 $a_1=1$，得 $a_2=2$，从而 $d=1$，$a_n=n$，$b_n=2^n$. 因此 设上式为 $S_n$，则 $4S_n=\sum_{k=2}^{n+1}(k-1)4^k$，相减得 所以 $S_n=\frac{(3n-1)4^{n+1}+4}{9}$. \end{enumerate} \end{solution}