如图，从气球 $A$ 上测得正前方的河流的两岸 $B$，$C$ 的俯角分别为 $75^{\circ}$，$30^{\circ}$，此时气球的高是 $60 \mathrm{~m}$，则河流的宽度 $BC$ 等于（ ）

\begin{answer} C \end{answer}

\begin{solution} 设 $A$ 在地面上的垂足为 $D$，则 $AD=60\mathrm{~m}$. 由俯角等于相应的仰角，在直角三角形 $ADB$，$ADC$ 中分别有 $DB=60\tan15^{\circ}$，$DC=60\tan60^{\circ}$. 又 $\tan15^{\circ}=\tan(45^{\circ}-30^{\circ})=2-\sqrt3$，故 因此河流宽度对应选项 C. \end{solution}

已知函数 $f(x) = \sin \left(3x + \frac{\pi}{4}\right)$.

(1) 求 $f(x)$ 的单调递增区间； (2) 若 $\alpha$ 是第二象限角，$f\left(\frac{\alpha}{3}\right) = \frac{4}{5}\cos \left(\alpha + \frac{\pi}{4}\right)\cos 2\alpha$，求 $\cos \alpha - \sin \alpha$ 的值.

\begin{solution} \begin{enumerate} \item $y=\sin t$ 在区间 $\left[-\frac\pi2+2k\pi,\frac\pi2+2k\pi\right]$ 上单调递增. 令 $t=3x+\frac\pi4$，则 $-\frac\pi2+2k\pi\leqslant3x+\frac\pi4\leqslant\frac\pi2+2k\pi$，$k\in\mathbf{Z}$. 解得 $\left[\frac{2k\pi}{3}-\frac\pi4,\frac{2k\pi}{3}+\frac\pi{12}\right]$，$k\in\mathbf{Z}$，这就是 $f(x)$ 的单调递增区间. \item 因为 $f\left(\frac\alpha3\right)=\sin\left(\alpha+\frac\pi4\right)$，设 $u=\sin\alpha+\cos\alpha$，$v=\cos\alpha-\sin\alpha$. 已知等式化为 又 $\cos2\alpha=(\cos\alpha-\sin\alpha)(\cos\alpha+\sin\alpha)=uv$，所以 $u=\frac45uv^2$. 若 $u=0$，则 $v=-\sqrt2$. 若 $u\neq0$，则 $v^2=\frac54$. 由于 $\alpha$ 是第二象限角，$\cos\alpha-\sin\alpha<0$，故 $v=-\frac{\sqrt5}{2}$. 因此 $\cos\alpha-\sin\alpha=-\sqrt2$ 或 $-\frac{\sqrt5}{2}$. \end{enumerate} \end{solution}