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03立体几何初步★★★☆☆
过平行六面体 ABCD−A1B1C1D1ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} 任意两条棱的中点作直线，其中与平面 DBB1D1DBB_{1}D_{1} 平行的直线共有（ ）
A.
44 条
B.
66 条
C.
88 条
D.
1212 条

2006 · 湖南 · 理 · 第 3 题 · 选择题

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05平面向量★★★☆☆
已知 ∣a∣=2∣b∣≠0\left|\boldsymbol{a}\right| = 2\left|\boldsymbol{b}\right| \neq 0，且关于 xx 的方程 x2+∣a∣x+a⋅b=0x^{2} + \left|\boldsymbol{a}\right|x + \boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b} = 0 有实根，则 a\boldsymbol{a} 与 b\boldsymbol{b} 的夹角的取值范围是（ ）
A.
[0,π6]\left[0, \frac{\pi}{6}\right]
B.
[π3,π]\left[\frac{\pi}{3}, \pi\right]
C.
[π3,2π3]\left[\frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}\right]
D.
[π6,π]\left[\frac{\pi}{6}, \pi\right]

2006 · 湖南 · 理 · 第 5 题 · 选择题

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07解析几何★★★☆☆
过双曲线 M:x2−y2b2=1M: x^{2} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 的左顶点 AA 作斜率为 11 的直线 ll，若 ll 与双曲线 MM 的两条渐近线分别相交于点 BB，CC，且 ∣AB∣=∣BC∣|AB| = |BC|，则双曲线 MM 的离心率是（ ）
A.
10\sqrt{10}
B.
5\sqrt{5}
C.
103\frac{\sqrt{10}}{3}
D.
52\frac{\sqrt{5}}{2}

2006 · 湖南 · 理 · 第 7 题 · 选择题

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08不等式★★★☆☆
设函数 f(x)=x−ax−1f(x) = \frac{x - a}{x - 1}，集合 M={x∣f(x)<0}M = \{x \mid f(x) < 0\}，P={x∣f′(x)>0}P = \{x \mid f'(x) > 0\}，若 M⫋PM \subsetneqq P，则实数 aa 的取值范围是（ ）
A.
(−∞,1)(- \infty, 1)
B.
(0,1)(0,1)
C.
(1,+∞)(1, +\infty)
D.
[1,+∞)[1, +\infty)

2006 · 湖南 · 理 · 第 8 题 · 选择题

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09立体几何初步★★★☆☆
棱长为 22 的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球心的一个截面如图，则图中三角形（正四面体的截面）的面积是（ ）
A.
22\frac{\sqrt{2}}{2}
B.
32\frac{\sqrt{3}}{2}
C.
2\sqrt{2}
D.
3\sqrt{3}

2006 · 湖南 · 理 · 第 9 题 · 选择题

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12不等式★★★☆☆
已知
{x⩾1,x−y+1⩽0,2x−y−2⩽0\begin{cases} x \geqslant 1,\\ x - y + 1 \leqslant 0,\\ 2x - y - 2 \leqslant 0 \end{cases}
，则 x2+y2x^2 + y^2 的最小值是______.

2006 · 湖南 · 理 · 第 12 题 · 填空题

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15平面向量★★★☆☆
如图，OM∥ABOM \parallel AB，点 PP 在由射线 OMOM，线段 OBOB 及 ABAB 的延长线围成的区域内（不含边界）运动，且 OP→=xOA→+yOB→\overrightarrow{OP} = x\overrightarrow{OA} + y\overrightarrow{OB}，则 xx 的取值范围是______；当 x=−12x = -\frac{1}{2} 时，yy 的取值范围是______.

2006 · 湖南 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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16三角函数★★★☆☆
如图，DD 是直角 △ABC\triangle ABC 斜边 BCBC 上一点，AB=ADAB = AD，记 ∠CAD=α\angle CAD = \alpha，∠ABC=β\angle ABC = \beta.
(1) 证明：sin⁡α+cos⁡2β=0\sin \alpha + \cos 2\beta = 0； (2) 若 AC=3DCAC = \sqrt{3}DC，求 β\beta 的值.

2006 · 湖南 · 理 · 第 16 题 · 解答题

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17概率与统计★★★☆☆
某安全生产监督部门对 55 家小型煤矿进行安全检查（简称安检）. 若安检不合格，则必须整改. 若整改后经复查仍不合格，则强制关闭. 设每家煤矿安检是否合格是相互独立的，且每家煤矿整改前安检合格的概率是 0.50.5，整改后安检合格的概率是 0.80.8，计算（结果精确到 0.010.01）：
(1) 恰好有两家煤矿必须整改的概率； (2) 平均有多少家煤矿必须整改； (3) 至少关闭一家煤矿的概率.

2006 · 湖南 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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18立体几何初步★★★☆☆
如图，已知两个正四棱锥 P−ABCDP - ABCD 与 Q−ABCDQ - ABCD 的高分别为 11 和 22，AB=4AB = 4.
(1) 证明：PQ⊥PQ \perp 平面 ABCDABCD； (2) 求异面直线 AQAQ 与 PBPB 所成的角； (3) 求点 PP 到平面 QADQAD 的距离.

2006 · 湖南 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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