过双曲线 $M: x^{2} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 的左顶点 $A$ 作斜率为 $1$ 的直线 $l$，若 $l$ 与双曲线 $M$ 的两条渐近线分别相交于点 $B$，$C$，且 $|AB| = |BC|$，则双曲线 $M$ 的离心率是（ ）

已知 ，则 $x^2 + y^2$ 的最小值是______.