设双曲线以椭圆 $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1$ 长轴的两个端点为焦点，其准线过椭圆的焦点，则双曲线的渐近线的斜率为（$\quad$）

给出下列三个命题：

① 若 $a \geqslant b > -1$，则 $\frac{a}{1 + a} \geqslant \frac{b}{1 + b}$； ② 若正整数 $m$ 和 $n$ 满足 $m \leqslant n$，则 $\sqrt{m(n - m)} \leqslant \frac{n}{2}$； ③ 设 $P(x_{1}, y_{1})$ 为圆 $O_{1}: x^{2} + y^{2} = 9$ 上任一点，圆 $O_{2}$ 以 $Q(a, b)$ 为圆心且半径为 $1$. 当 $(a - x_{1})^{2} + (b - y_{1})^{2} = 1$ 时，圆 $O_{1}$ 与圆 $O_{2}$ 相切.

其中假命题的个数为（$\quad$）