设 $\alpha$，$\beta$，$\gamma$ 为平面，$m$，$n$，$l$ 为直线. 则 $m \perp \beta$ 的一个充分条件是（$\quad$）

给出下列三个命题：

① 若 $a \geqslant b > -1$，则 $\frac{a}{1 + a} \geqslant \frac{b}{1 + b}$； ② 若正整数 $m$ 和 $n$ 满足 $m \leqslant n$，则 $\sqrt{m(n - m)} \leqslant \frac{n}{2}$； ③ 设 $P(x_{1}, y_{1})$ 为圆 $O_{1}: x^{2} + y^{2} = 9$ 上任一点，圆 $O_{2}$ 以 $Q(a, b)$ 为圆心且半径为 $1$. 当 $(a - x_{1})^{2} + (b - y_{1})^{2} = 1$ 时，圆 $O_{1}$ 与圆 $O_{2}$ 相切.

其中假命题的个数为（$\quad$）