设向量 $\boldsymbol{a}=(4\cos\alpha,\sin\alpha)$，$\boldsymbol{b}=(\sin\beta,4\cos\beta)$，$\boldsymbol{c}=(\cos\beta,-4\sin\beta)$.

(1) 若 $\boldsymbol{a}$ 与 $\boldsymbol{b}-2\boldsymbol{c}$ 垂直，求 $\tan(\alpha+\beta)$ 的值； (2) 求 $|\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c}|$ 的最大值； (3) 若 $\tan\alpha\tan\beta=16$，求证：$\boldsymbol{a}\parallel\boldsymbol{b}$.