已知函数 $f(x) = \dfrac{(\sin x - \cos x)\sin 2x}{\sin x}$.

(1) 求 $f(x)$ 的定义域及最小正周期； (2) 求 $f(x)$ 的单调递减区间.

\begin{solution} \begin{enumerate} \item 由分母不能为零，得 $\sin x\ne0$，所以定义域为 $\{x\mid x\ne k\pi,\ k\in\mathbf{Z}\}$. 在此定义域内，利用 $\sin2x=2\sin x\cos x$，得 化简式的周期为 $\pi$，所以 $\pi$ 是原函数的一个正周期. 另一方面，原函数的定义域排除了恰为 $\{k\pi\mid k\in\mathbf{Z}\}$ 的点；若 $T$ 是原函数的周期，则平移 $T$ 必须把这组不可取点保持不变，从而 $T$ 必须是 $\pi$ 的整数倍. 因此原函数的最小正周期为 $\pi$.

\item 由上式可得 $f'(x)=2\sqrt{2}\cos\left(2x-\frac{\pi}{4}\right)$. 函数递减时 即存在 $k\in\mathbf{Z}$，使 解得 $k\pi+\frac{3\pi}{8}<x<k\pi+\frac{7\pi}{8}$. 端点处导数为零，但函数在端点及其间的每一点均有定义，故可将递减区间写成相应闭区间；这些区间也不包含被排除的 $k\pi$. 所以单调递减区间为 $\left[k\pi+\frac{3\pi}{8},k\pi+\frac{7\pi}{8}\right]$（$k\in\mathbf{Z}$）. \end{enumerate} \end{solution}