若点 $O$ 和点 $F$ 分别为椭圆 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的中心和左焦点，点 $P$ 为椭圆上的任意一点，则 $\overrightarrow{OP} \cdot \overrightarrow{FP}$ 的最大值为（ ）

已知抛物线 $C: y^{2}=2px$ （$p>0$）过点 $A\left(1,-2\right)$.

(1) 求抛物线 $C$ 的方程，并求其准线方程； (2) 是否存在平行于 $OA$（$O$ 为坐标原点）的直线 $l$，使得直线 $l$ 与抛物线 $C$ 有公共点，且直线 $OA$ 与 $l$ 的距离等于 $\frac{\sqrt{5}}{5}$？若存在，求出直线 $l$ 的方程；若不存在，说明理由.