已知函数 $f(x) = \lg (x + 1)$.

(1) 若 $0 < f(1 - 2x) - f(x) < 1$，求 $x$ 的取值范围； (2) 若 $g(x)$ 是以 2 为周期的偶函数，且当 $0 \leqslant x \leqslant 1$ 时，有 $g(x) = f(x)$，求函数 $y = g(x)$ （$x \in [1, 2]$） 的反函数.