设 $\lambda > 0$，点 $A$ 的坐标为 $(1,1)$，点 $B$ 在抛物线 $y = x^2$ 上运动，点 $Q$ 满足 $\overrightarrow{BQ} = \lambda \overrightarrow{QA}$，经过点 $Q$ 与 $x$ 轴垂直的直线交抛物线于点 $M$，点 $P$ 满足 $\overrightarrow{QM} = \lambda \overrightarrow{MP}$，求点 $P$ 的轨迹方程.