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21三角函数★★★☆☆
已知 sin⁡α=35\sin\alpha=\frac{3}{5}，α∈(π2,π)\alpha\in\left(\frac{\pi}{2},\pi\right)，tan⁡(π−β)=12\tan(\pi-\beta)=\frac{1}{2}，求 tan⁡(α−2β)\tan(\alpha-2\beta) 的值.

1994 · 上海 · 文 · 第 21 题 · 解答题

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23立体几何初步★★★☆☆
如图，在梯形 ABCDABCD 中，AD∥BCAD \parallel BC，∠ABC=π2\angle ABC = \frac{\pi}{2}，AB=aAB = a，AD=3aAD = 3a，且 ∠ADC=arcsin⁡55\angle ADC = \arcsin \frac{\sqrt{5}}{5}，又 PA⊥PA \perp 平面 ABCDABCD，PA=aPA = a. 求：
(1) 二面角 P−CD−AP - CD - A 的大小（用反三角函数表示）； (2) 点 AA 到平面 PBCPBC 的距离.

1994 · 上海 · 文 · 第 23 题 · 解答题

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24解析几何★★★☆☆
如图，抛物线 y=3x2y = 3x^{2} 和 y=−x2+4axy = -x^{2} + 4ax（a>0a > 0）交于原点 OO 和点 AA.
(1) 求这两条抛物线所围成的图形的面积； (2) 过点 AA 作抛物线 y=−x2+4axy = -x^{2} + 4ax 的切线，该切线与抛物线 y=3x2y = 3x^{2} 交于另一点 PP，求线段 APAP 的垂直平分线的方程.

1994 · 上海 · 文 · 第 24 题 · 解答题

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25数列★★★☆☆
设 {an}\{a_{n}\} 是公差为 dd 的等差数列，a3+a5=2a_{3} + a_{5} = 2，S20=a1+a2+⋯+a20=150S_{20} = a_{1} + a_{2} + \cdots + a_{20} = 150，又 bn=2an−2an+1b_{n} = 2^{a_{n} - 2a_{n+1}}（n∈Nn \in \mathbf{N}）.
(1) 求 a1a_{1}，dd 的值； (2) 求证 {bn}\{b_{n}\} 是等比数列，并求 bnb_{n}； (3) 设 kk 为某个自然数，且满足 lim⁡n→∞(bkbk+1+bk+1bk+2+⋯+bnbn+1)=196\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left(b_k b_{k+1} + b_{k+1} b_{k+2} + \cdots + b_n b_{n+1}\right) = \frac{1}{96}，求 kk 的值.

1994 · 上海 · 文 · 第 25 题 · 解答题

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