设 $\{a_{n}\}$ 是公差为 $d$ 的等差数列，$a_{3} + a_{5} = 2$，$S_{20} = a_{1} + a_{2} + \cdots + a_{20} = 150$，又 $b_{n} = 2^{a_{n} - 2a_{n+1}}$（$n \in \mathbf{N}$）.

(1) 求 $a_{1}$，$d$ 的值； (2) 求证 $\{b_{n}\}$ 是等比数列，并求 $b_{n}$； (3) 设 $k$ 为某个自然数，且满足 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left(b_k b_{k+1} + b_{k+1} b_{k+2} + \cdots + b_n b_{n+1}\right) = \frac{1}{96}$，求 $k$ 的值.