已知函数 $f(x) = \sin \left(\omega x + \frac{\pi}{6}\right) + \sin \left(\omega x - \frac{\pi}{6}\right) - 2 \cos^2 \frac{\omega x}{2}$，$x \in \mathbf{R}$（其中 $\omega > 0$）.

(1) 求函数 $f(x)$ 的值域. (2) 若对任意的 $a \in \mathbf{R}$，函数 $y = f(x)$，$x \in (a, a + \pi]$ 的图象与直线 $y = -1$ 有且仅有两个不同的交点，试确定 $\omega$ 的值（不必证明），并求函数 $y = f(x)$，$x \in \mathbf{R}$ 的单调增区间.