如图，在四棱锥 $P - ABCD$ 中，$PA \perp$ 平面 $ABCD$，底面 $ABCD$ 是等腰梯形，$AD\parallel BC$，$AC \perp BD$.

(1) 证明： $BD \perp PC$； (2) 若 $AD=4$，$BC=2$，直线 $PD$ 与平面 $PAC$ 所成的角为 $30^{\circ}$，求四棱锥 $P-ABCD$ 的体积.