已知函数 $f(x) = A \sin (\omega x + \varphi)$ （$x \in \mathbf{R}$，$\omega > 0$，$0 < \varphi < \tfrac{\pi}{2}$）的部分图象如图所示.

(1) 求函数 $f(x)$ 的解析式； (2) 求函数 $g(x)=f\left(x-\frac{\pi}{12}\right)-f\left(x+\frac{\pi}{12}\right)$ 的单调递增区间.