如图，在梯形 $ABCD$ 中，$AB \parallel CD$，$E$，$F$ 是线段 $AB$ 上的两点，且 $DE \perp AB$，$CF \perp AB$，$AB = 12$，$AD = 5$，$BC = 4\sqrt{2}$，$DE = 4$. 现将 $\triangle ADE$，$\triangle CFB$ 分别沿 $DE$，$CF$ 折起，使 $A$，$B$ 两点重合于点 $G$，得到多面体 $CDEFG$.

(1) 求证：平面 $DEG \perp$ 平面 $CFG$； (2) 求多面体 $CDEFG$ 的体积.