数迹
题目列表试卷列表
共找到 8 题
排序：
组题
本页 8 题去组卷
04立体几何初步★★★☆☆
要在边长为 16 米16\text{ 米} 的正方形草坪上安装喷水龙头，使整个草坪都能喷洒到水. 假设每个喷水龙头的喷洒范围都是半径为 6 米6\text{ 米} 的圆面，则需安装这种喷水龙头的个数最少是（ ）
\begin{answer} B \end{answer}
\begin{solution} 正方形任意两个不同顶点的距离至少为 16 米16\text{ 米}，而一个喷水龙头的喷洒直径为 12 米12\text{ 米}，所以一个喷水龙头不可能同时覆盖两个顶点；要覆盖正方形的四个顶点，至少需要 44 个喷水龙头.
把正方形分成 44 个边长为 8 米8\text{ 米} 的小正方形，在每个小正方形的中心安装一个喷水龙头. 小正方形中任一点到其中心的距离不超过 42<6 米4\sqrt{2}<6\text{ 米}，因此这 44 个喷水龙头可以覆盖整个草坪. 故最少安装 44 个，选 B. \end{solution}
A.
33
B.
44
C.
55
D.
66

2007 · 浙江 · 理 · 第 4 题 · 选择题

查看答案和解析
06立体几何初步★★★☆☆
若 PP 是两条异面直线 ll，mm 外的任意一点，则（ ）
\begin{answer} B \end{answer}
\begin{solution} 设两条异面直线 ll，mm 的方向向量分别为 u\boldsymbol{u}，v\boldsymbol{v}. 由于 ll，mm 不平行，u×v≠0\boldsymbol{u}\times\boldsymbol{v}\ne\boldsymbol{0}. 过点 PP 且方向为 u×v\boldsymbol{u}\times\boldsymbol{v} 的直线，方向同时垂直于 u\boldsymbol{u} 和 v\boldsymbol{v}，因而与 ll，mm 都垂直；其方向被唯一确定，所以这样的直线有且仅有一条. 因此选 B. \end{solution}
A.
过点 PP 有且仅有一条直线与 ll，mm 都平行
B.
过点 PP 有且仅有一条直线与 ll，mm 都垂直
C.
过点 PP 有且仅有一条直线与 ll，mm 都相交
D.
过点 PP 有且仅有一条直线与 ll，mm 都异面

2007 · 浙江 · 理 · 第 6 题 · 选择题

查看答案和解析
08导数及其应用★★★☆☆
设 f′(x)f'(x) 是函数 f(x)f(x) 的导函数，将 y=f(x)y = f(x) 和 y=f′(x)y = f'(x) 的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（ ）
\begin{answer} D \end{answer}
\begin{solution} 若上方曲线为 y=f(x)y=f(x)，则它在横坐标为正的位置有一个极小值点. 由导数与单调性的关系，在该点应有 f′(x)=0f'(x)=0，所以下方曲线 y=f′(x)y=f'(x) 必须经过横轴上的同一个点.
选项 D 中，上方曲线的极小值点横坐标为正，而下方曲线在该横坐标处位于横轴下方，不经过横轴，故不可能.
若下方曲线为 y=f(x)y=f(x)，则它在横坐标为负的位置有一个极大值点，所以导函数图象应在同一横坐标处经过横轴. 但选项 D 中上方曲线在该点位于横轴上方，也不经过横轴. 因此无论哪条曲线表示 f(x)f(x)，选项 D 都不可能正确，故选 D. \end{solution}
A.
B.
C.
D.

2007 · 浙江 · 理 · 第 8 题 · 选择题

查看答案和解析
12三角函数★★★☆☆
已知 sin⁡θ+cos⁡θ=15\sin \theta + \cos \theta = \frac{1}{5}，且 π2⩽θ⩽3π4\frac{\pi}{2} \leqslant \theta \leqslant \frac{3\pi}{4}，则 cos⁡2θ\cos 2\theta 的值是______. \begin{answer} −725-\frac{7}{25} \end{answer}
\begin{solution} 由 sin⁡θ+cos⁡θ=15\sin\theta+\cos\theta=\dfrac15，得
sin⁡2θ=(sin⁡θ+cos⁡θ)2−1=−2425\sin2\theta=\left(\sin\theta+\cos\theta\right)^2-1=-\frac{24}{25}
因为 π2⩽θ⩽3π4\dfrac\pi2\leqslant\theta\leqslant\dfrac{3\pi}{4}，所以 π⩽2θ⩽3π2\pi\leqslant2\theta\leqslant\dfrac{3\pi}{2}. 又因 sin⁡2θ=−2425≠0\sin2\theta=-\dfrac{24}{25}\ne0，故 cos⁡2θ<0\cos2\theta<0. 再由
cos⁡22θ=1−sin⁡22θ=1−576625=49625\cos^22\theta=1-\sin^22\theta=1-\frac{576}{625}=\frac{49}{625}
故 cos⁡2θ=−725\cos2\theta=-\dfrac7{25}. \end{solution}

2007 · 浙江 · 理 · 第 12 题 · 填空题

查看答案和解析
14计数原理与组合数学★★★☆☆
某书店有 1111 种杂志，2 元2\text{ 元} 1 本1\text{ 本} 的 88 种，1 元1\text{ 元} 1 本1\text{ 本} 的 33 种. 小张用 10 元10\text{ 元} 钱买杂志（每种至多买一本，10 元10\text{ 元} 钱刚好用完），则不同买法的种数是______.（用数字作答） \begin{answer} 266266 \end{answer}
\begin{solution} 设购买 2 元2\text{ 元} 杂志 ii 种，购买 1 元1\text{ 元} 杂志 jj 种，则 2i+j=102i+j=10，0⩽i⩽80\leqslant i\leqslant8，0⩽j⩽30\leqslant j\leqslant3. 所以只有 (i,j)=(5,0)(i,j)=(5,0) 或 (4,2)(4,2) 两种数量组合. 相应买法数为
C85C30+C84C32=56+70×3=266\mathrm C_8^5\mathrm C_3^0+\mathrm C_8^4\mathrm C_3^2=56+70\times3=266
故不同买法的种数为 266266. \end{solution}

2007 · 浙江 · 理 · 第 14 题 · 填空题

查看答案和解析
15概率与统计★★★☆☆
随机变量 ξ\xi 的分布列如下：
ξ\xi−1-10011
其中 aa，bb，cc 成等差数列. 若 E(ξ)=13E(\xi) = \frac{1}{3}，则 D(ξ)D(\xi) 的值是______. \begin{answer} 59\frac{5}{9} \end{answer}
\begin{solution} 因为 aa，bb，cc 成等差数列，所以 a+c=2ba+c=2b. 又由分布列的概率和为 11，得 a+b+c=1a+b+c=1，从而 b=13b=\dfrac13，a+c=23a+c=\dfrac23. 由期望条件
E(ξ)=−a+c=13E(\xi)=-a+c=\frac13
解得 a=16a=\dfrac16，c=12c=\dfrac12. 于是 E(ξ2)=a+c=23E(\xi^2)=a+c=\frac23，D(ξ)=E(ξ2)−E(ξ)2=23−19=59D(\xi)=E(\xi^2)-E(\xi)^2=\frac23-\frac19=\frac59. \end{solution}

2007 · 浙江 · 理 · 第 15 题 · 填空题

查看答案和解析
18三角函数★★★☆☆
已知 △ABC\triangle ABC 的周长为 2+1\sqrt{2} + 1，且 sin⁡A+sin⁡B=2sin⁡C\sin A + \sin B = \sqrt{2} \sin C.
(1) 求边 ABAB 的长； (2) 若 △ABC\triangle ABC 的面积为 16sin⁡C\frac{1}{6}\sin C，求角 CC 的度数.
\begin{solution} \begin{enumerate} \item 设 BC=aBC=a，CA=bCA=b，AB=cAB=c. 由正弦定理，
sin⁡A+sin⁡B=2sin⁡C⟺a+b=2c\sin A+\sin B=\sqrt{2}\sin C \Longleftrightarrow a+b=\sqrt{2}c
又 a+b+c=2+1a+b+c=\sqrt{2}+1，所以
(2+1)c=2+1(\sqrt{2}+1)c=\sqrt{2}+1
从而 c=AB=1c=AB=1. \item 三角形面积为
12absin⁡C=16sin⁡C\frac12ab\sin C=\frac16\sin C
由于 CC 是三角形内角，sin⁡C>0\sin C>0，故 ab=13ab=\dfrac13. 由 a+b=2a+b=\sqrt{2}，得
a2+b2=(a+b)2−2ab=2−23=43a^2+b^2=(a+b)^2-2ab=2-\frac23=\frac43
在三角形 ABCABC 中应用余弦定理，
1=c2=a2+b2−2abcos⁡C=43−23cos⁡C1=c^2=a^2+b^2-2ab\cos C =\frac43-\frac23\cos C
所以 cos⁡C=12\cos C=\dfrac12. 因为 0<C<π0<C<\pi，故 C=60∘C=60^{\circ}. \end{enumerate} \end{solution}

2007 · 浙江 · 理 · 第 18 题 · 解答题

查看答案和解析
19立体几何初步★★★☆☆
在如图所示的几何体中，EA⊥EA \perp 平面 ABCABC，DB⊥DB \perp 平面 ABCABC，AC⊥BCAC \perp BC，且 AC=BC=BD=2AEAC = BC = BD = 2AE，MM 是 ABAB 的中点.
(1) 求证：CM⊥EMCM \perp EM； (2) 求 CMCM 与平面 CDECDE 所成的角.
\begin{solution} \begin{enumerate} \item 建立空间直角坐标系，取 CC 为原点，令 CACA 为 xx 轴正方向，CBCB 为 yy 轴正方向，垂直于平面 ABCABC 的方向为 zz 轴正方向. 由题设可取 C=(0,0,0)C=(0,0,0)，A=(2,0,0)A=(2,0,0)，B=(0,2,0)B=(0,2,0)，E=(2,0,1)E=(2,0,1)，D=(0,2,2)D=(0,2,2). 因为 MM 是 ABAB 的中点，所以 M=(1,1,0)M=(1,1,0). 于是 CM→=(1,1,0)\overrightarrow{CM}=(1,1,0)，EM→=(−1,1,−1)\overrightarrow{EM}=(-1,1,-1)， 从而
CM→⋅EM→=−1+1+0=0\overrightarrow{CM}\cdot\overrightarrow{EM}=-1+1+0=0
故 CM⊥EMCM\perp EM. \item 由 CD→=(0,2,2)\overrightarrow{CD}=(0,2,2)，CE→=(2,0,1)\overrightarrow{CE}=(2,0,1) 可取平面 CDECDE 的一个法向量为
n=CD→×CE→=(2,4,−4)\boldsymbol{n}=\overrightarrow{CD}\times\overrightarrow{CE}=(2,4,-4)
设 CMCM 与平面 CDECDE 所成的角为 θ\theta，则
sin⁡θ=∣CM→⋅n∣∣CM→∣∣n∣=∣2+4∣222+42+(−4)2=6236=12\sin\theta =\frac{\lvert\overrightarrow{CM}\cdot\boldsymbol{n}\rvert}{\lvert\overrightarrow{CM}\rvert\lvert\boldsymbol{n}\rvert} =\frac{\lvert2+4\rvert}{\sqrt2\sqrt{2^2+4^2+(-4)^2}} =\frac6{\sqrt2\sqrt{36}} =\frac1{\sqrt2}
因此 θ=45∘\theta=45^{\circ}. \end{enumerate} \end{solution}

2007 · 浙江 · 理 · 第 19 题 · 解答题

查看答案和解析