已知 $\sin \theta + \cos \theta = \frac{1}{5}$，且 $\frac{\pi}{2} \leqslant \theta \leqslant \frac{3\pi}{4}$，则 $\cos 2\theta$ 的值是______. \begin{answer} $-\frac{7}{25}$ \end{answer}

\begin{solution} 由 $\sin\theta+\cos\theta=\dfrac15$，得 因为 $\dfrac\pi2\leqslant\theta\leqslant\dfrac{3\pi}{4}$，所以 $\pi\leqslant2\theta\leqslant\dfrac{3\pi}{2}$. 又因 $\sin2\theta=-\dfrac{24}{25}\ne0$，故 $\cos2\theta<0$. 再由 故 $\cos2\theta=-\dfrac7{25}$. \end{solution}

已知 $\triangle ABC$ 的周长为 $\sqrt{2} + 1$，且 $\sin A + \sin B = \sqrt{2} \sin C$.

(1) 求边 $AB$ 的长； (2) 若 $\triangle ABC$ 的面积为 $\frac{1}{6}\sin C$，求角 $C$ 的度数.

\begin{solution} \begin{enumerate} \item 设 $BC=a$，$CA=b$，$AB=c$. 由正弦定理， 又 $a+b+c=\sqrt{2}+1$，所以 从而 $c=AB=1$. \item 三角形面积为 由于 $C$ 是三角形内角，$\sin C>0$，故 $ab=\dfrac13$. 由 $a+b=\sqrt{2}$，得 在三角形 $ABC$ 中应用余弦定理， 所以 $\cos C=\dfrac12$. 因为 $0<C<\pi$，故 $C=60^{\circ}$. \end{enumerate} \end{solution}