已知数列 $\{a_n\}$ 和 $\{b_n\}$ 满足 $a_1=2$，$b_1=1$，$a_{n+1}=2a_n$（$n\in\mathbf{N}^{*}$），$b_1+\frac{1}{2}b_2+\frac{1}{3}b_3+\dots+\frac{1}{n}b_n=b_{n+1}-1$（$n\in\mathbf{N}^{*}$）.

(1) 求 $a_n$ 与 $b_n$； (2) 记数列 $\{a_nb_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_n$，求 $T_n$.