根据世行 $2013$ 年新标准，人均 $\mathrm{GDP}$ 低于 $1035\ \text{美元}$ 为低收入国家；人均 $\mathrm{GDP}$ 为 $1035\text{—}4085\ \text{美元}$ 为中等偏下收入国家；人均 $\mathrm{GDP}$ 为 $4085\text{—}12616\ \text{美元}$ 为中等偏上收入国家；人均 $\mathrm{GDP}$ 不低于 $12616\ \text{美元}$ 为高收入国家. 某城市有 $5$ 个行政区，各区人口占该城市人口比例及人均 $\mathrm{GDP}$ 如下表：

(1) 判断该城市人均 $\mathrm{GDP}$ 是否达到中等偏上收入国家标准； (2) 现从该城市 $5$ 个行政区中随机抽取 $2$ 个，求抽到的 $2$ 个行政区人均 $\mathrm{GDP}$ 都达到中等偏上收入国家标准的概率.

\begin{solution} \begin{enumerate} \item 以全市人口为 $1$，按各行政区人口比例加权，城市人均 $\mathrm{GDP}$ 为 $0.25\times8000+0.30\times4000+0.15\times6000+0.10\times3000+0.20\times10000=6400$ 美元. 因为 $4085\leqslant6400<12616$，所以该城市达到中等偏上收入国家标准. \item 达到中等偏上收入国家标准的行政区为 A、C、E，共 $3$ 个. 从 $5$ 个行政区中随机抽取 $2$ 个，基本事件总数为 $\mathrm C_5^2=10$，有利事件数为从 A、C、E 中抽取 $2$ 个，即 $\mathrm C_3^2=3$. 因此所求概率为 $\frac{\mathrm C_3^2}{\mathrm C_5^2}=\frac3{10}$. \end{enumerate} \end{solution}