如图，三棱锥
A−BCD 中，
AB⊥ 平面
BCD，
CD⊥BD.
(1) 求证：
CD⊥ 平面
ABD；
(2) 若
AB=BD=CD=1，
M 为
AD 中点，求三棱锥
A−MBC 的体积.
\begin{solution}
\begin{enumerate}
\item 因为
AB⊥ 平面
BCD，且
CD 在平面
BCD 内，所以
AB⊥CD. 题设又给出
BD⊥CD，而
AB 与
BD 是平面
ABD 内相交的两条直线. 因此由直线与平面垂直的判定定理，
CD⊥ 平面
ABD.
\item 建立空间直角坐标系，取
B=(0,0,0)、
D=(1,0,0)、
C=(1,1,0)、
A=(0,0,1)，则条件
AB⊥ 平面
BCD、
AB=BD=CD=1 均满足. 因为
M 是
AD 的中点，所以
M=(21,0,21). 于是
AM=(21,0,−21)，
AB=(0,0,−1)，
AC=(1,1,−1). 计算得
AB×AC=(1,−1,0)，从而
VA−MBC=61AM⋅(AB×AC)=61×21=121.
\end{enumerate}
\end{solution}
