已知函数 $f(x) = 2\cos x (\sin x + \cos x)$.

(1) 求 $f\left(\frac{5\pi}{4}\right)$ 的值； (2) 求函数 $f(x)$ 的最小正周期及单调递增区间.

\begin{solution} \begin{enumerate} \item 将 $x=\frac{5\pi}{4}$ 代入，得 $f\left(\frac{5\pi}{4}\right)=2\cos\frac{5\pi}{4}\left(\sin\frac{5\pi}{4}+\cos\frac{5\pi}{4}\right)=2$. \item 化简得 $f(x)=2\sin x\cos x+2\cos^2x=1+\sin2x+\cos2x=1+\sqrt2\sin\left(2x+\frac\pi4\right)$. 因此最小正周期满足 $2T=2\pi$，即 $T=\pi$. 又 $f'(x)=2\sqrt2\cos\left(2x+\frac\pi4\right)$，所以在单调递增区间内 $f'(x)\geqslant0$，且内部除端点外为正，即 $-\frac\pi2+2k\pi\leqslant2x+\frac\pi4\leqslant\frac\pi2+2k\pi$，从而 $k\pi-\frac{3\pi}{8}\leqslant x\leqslant k\pi+\frac\pi8$. 故函数的单调递增区间为 $\left[k\pi-\frac{3\pi}{8},k\pi+\frac\pi8\right]$，其中 $k\in\mathbf{Z}$. \end{enumerate} \end{solution}