一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等，体积为 $2\sqrt{3}$，它的三视图中的俯视图如图所示，左视图是一个矩形，则这个矩形的面积是（ ）

如图，四边形 $ABCD$ 为正方形，$QA \perp$ 平面 $ABCD$，$PD \parallel QA$，$QA = AB = \frac{1}{2}PD$.

(1) 证明：$PQ \perp$ 平面 $DCQ$； (2) 求棱锥 $Q-ABCD$ 的体积与棱锥 $P-DCQ$ 的体积比值.