已知双曲线 $C: \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$（$a > 0$，$b > 0$）的离心率为 $\sqrt{3}$，右准线方程为 $x = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

(1) 求双曲线 $C$ 的方程； (2) 已知直线 $x - y + m = 0$ 与双曲线 $C$ 交于不同的两点 $A$，$B$，且线段 $AB$ 的中点在圆 $x^{2} + y^{2} = 5$ 上，求 $m$ 的值.