对 $a$，$b \in \mathbf{R}$，记 函数 $f(x) = \max \{|x + 1|, |x - 2|\}$ （$x \in \mathbf{R}$）的最小值是______.

\begin{answer} $\frac{3}{2}$ \end{answer}

\begin{solution} 对任意 $x$，三角不等式给出 又对任意非负数 $u$，$v$，都有 $\max\{u,v\}\geqslant\frac{u+v}{2}$. 取 $u=|x+1|$，$v=|x-2|$，便有 $f(x)\geqslant\frac{|x+1|+|x-2|}{2}\geqslant\frac32$. 当 $x=\frac12$ 时，$|x+1|=|x-2|=\frac32$，上述两个不等式同时取等号. 所以函数的最小值为 $\frac32$. \end{solution}