在平面直角坐标系 $xOy$ 中，设二次函数 $f(x) = x^2 + 2x + b$（$x \in \mathbf{R}$）的图象与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为 $C$.

(1) 求实数 $b$ 的取值范围； (2) 求圆 $C$ 的方程； (3) 问圆 $C$ 是否经过定点（其坐标与 $b$ 无关）？请证明你的结论.