已知 $2$ 件次品和 $3$ 件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出 $2$ 件次品或者检测出 $3$ 件正品时检测结束.

(1) 求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率； (2) 已知每检测一件产品需要费用 $100$ 元，设 $X$ 表示直到检测出 $2$ 件次品或者检测出 $3$ 件正品时所需要的检测费用（单位：元），求 $X$ 的分布列和均值（数学期望）.

\begin{solution} \begin{enumerate} \item 第一次检测出次品、第二次检测出正品的概率为

\item 若前两次都是次品，第二次检测结束，所以 第三次结束的情形为 $BGB$、$GBB$ 或 $GGG$，其中 $B$ 表示次品，$G$ 表示正品. 这三个有序结果的概率均为 $\frac1{10}$，因此 前四次才结束时，前三次必须恰有一件次品和两件正品，其概率为 此时第四件无论是次品还是正品，都会使相应数量达到终止条件. 因而 $X$ 的分布为 $P(X=200)=\frac1{10}$、$P(X=300)=\frac3{10}$、$P(X=400)=\frac6{10}$，且 \end{enumerate} \end{solution}