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16三角函数★★★☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，A=3π4A = \frac{3\pi}{4}，AB=6AB = 6，AC=32AC = 3\sqrt{2}，点 DD 在 BCBC 边上，AD=BDAD = BD，求 ADAD 的长. \begin{solution} 由余弦定理，
BC2=AB2+AC2−2AB⋅ACcos⁡A=36+18−362(−22)=90BC^2=AB^2+AC^2-2AB\cdot AC\cos A=36+18-36\sqrt2\left(-\frac{\sqrt2}{2}\right)=90
所以 BC=310BC=3\sqrt{10}. 设 AD=BD=xAD=BD=x，则 DC=310−xDC=3\sqrt{10}-x. 对三角形 ABCABC 使用斯图尔特定理，得
AC2⋅BD+AB2⋅DC=BC(AD2+BD⋅DC)AC^2\cdot BD+AB^2\cdot DC=BC\left(AD^2+BD\cdot DC\right)
代入已知量，
18x+36(310−x)=310[x2+x(310−x)]=90x18x+36(3\sqrt{10}-x)=3\sqrt{10}\left[x^2+x(3\sqrt{10}-x)\right]=90x
整理得 10810=108x108\sqrt{10}=108x，所以
AD=x=10AD=x=\sqrt{10}
\end{solution}

2015 · 安徽 · 理 · 第 16 题 · 解答题

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