如图，在斜三棱柱 $ABC - A_1B_1C_1$ 中， $\angle A_1AC = \angle ACB = \frac{\pi}{2}$， $\angle AA_1C = \frac{\pi}{6}$，侧棱 $BB_1$ 与底面所成的角为 $\frac{\pi}{3}$， $AA_1 = 4\sqrt{3}$， $BC = 4$. 求斜三棱柱 $ABC - A_1B_1C_1$ 的体积 $V$.