若 $z\in\mathbb{C}$ 且 $|z+2-2\mathrm{i}|=1$，则 $|z-2-2\mathrm{i}|$ 的最小值是（ ）

\begin{solution} 令 $w=z+2-2\mathrm{i}$，则 $\lvert w\rvert=1$，并且 $z-2-2\mathrm{i}=w-4$. 由三角不等式的逆不等式，$\lvert z-2-2\mathrm{i}\rvert=\lvert w-4\rvert\geqslant\bigl|\lvert4\rvert-\lvert w\rvert\bigr|=3$. 取 $w=1$ 时等号成立，所以所求最小值为 $3$，应选 B. \end{solution}

若数列 $\{a_n\}$ 的通项公式是 $a_n=\frac{3^{-n}+2^{-n}+(-1)^n\left(3^{-n}-2^{-n}\right)}{2}$（$n=1$，$2$，$\dots$），则 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}(a_1+a_2+\cdots+a_n)$ 等于（ ）

\begin{solution} 当 $n$ 为奇数时，$(-1)^n=-1$，所以 $a_n=2^{-n}$；当 $n$ 为偶数时，$(-1)^n=1$，所以 $a_n=3^{-n}$. 因此 故应选 C. \end{solution}

某班试用电子投票系统选举班干部候选人. 全班 $k\text{ 名}$同学都有选举权和被选举权，他们的编号分别为 $1$，$2$，$\dots$，$k$. 规定：同意按“1”，不同意（含弃权）按“0”，令 其中 $i=1$，$2$，$\dots$，$k$，且 $j=1$，$2$，$\dots$，$k$，则同时同意第 $1$，$2$ 号同学当选的人数为（ ）

\begin{solution} 对固定的第 $i$ 号同学，$a_{i1}a_{i2}=1$ 当且仅当他同时同意第 $1$、$2$ 号同学当选，否则该乘积为 $0$. 所以把所有同学的这一指标相加，所得人数为 因此应选 C. \end{solution}

将长度为 1 的铁丝分成两段，分别围成一个正方形和一个圆形，要使正方形与圆的面积之和最小，正方形的周长应为______.

\begin{solution} 设正方形的周长为 $x$，则圆的周长为 $1-x$，其中 $0<x<1$. 正方形和圆的面积之和为 求导得 $S'(x)=\frac{x}{8}-\frac{1-x}{2\pi}$，令 $S'(x)=0$，得到 $\pi x=4(1-x)$，即 $x=\frac{4}{4+\pi}$. 又 $S''(x)=\frac18+\frac{1}{2\pi}>0$，所以此时面积之和取得最小值. 因此正方形的周长为 $\frac{4}{4+\pi}$. \end{solution}

已知函数 $f(x)=\cos^{4}x-2\sin x\cos x-\sin^{4}x$.

(1) 求 $f(x)$ 的最小正周期； (2) 若 $x\in\left[0,\frac{\pi}{2}\right]$，求 $f(x)$ 的最大值，最小值.

\begin{solution} \begin{enumerate} \item 由 $\cos^4x-\sin^4x=(\cos^2x-\sin^2x)(\cos^2x+\sin^2x)=\cos 2x$，且 $2\sin x\cos x=\sin 2x$，得 $f(x)=\cos 2x-\sin 2x=\sqrt{2}\cos\left(2x+\frac{\pi}{4}\right)$. 因为自变量 $x$ 的系数为 $2$，所以 $f(x)$ 的最小正周期为 $T=\frac{2\pi}{2}=\pi$. \item 令 $t=2x$，则 $t\in[0,\pi]$，并设 $\varphi(t)=\cos t-\sin t$，于是 $f(x)=\varphi(t)$. 有 $\varphi'(t)=-\sin t-\cos t$，在区间 $[0,\pi]$ 内令 $\varphi'(t)=0$，得 $t=\frac{3\pi}{4}$. 比较端点和驻点的函数值：$\varphi(0)=1$，$\varphi(\frac{3\pi}{4})=-\sqrt{2}$，$\varphi(\pi)=-1$. 因而当 $t=0$，即 $x=0$ 时，$f(x)$ 取得最大值 $1$；当 $t=\frac{3\pi}{4}$，即 $x=\frac{3\pi}{8}$ 时，$f(x)$ 取得最小值 $-\sqrt{2}$. \end{enumerate} \end{solution}

已知数列 $\{a_n\}$ 是等差数列，且 $a_1=2$，$a_1+a_2+a_3=12$.

(1) 求数列 $\{a_n\}$ 的通项公式； (2) 令 $b_n=a_nx^n$（$x\in\mathbf{R}$）. 求数列 $\{b_n\}$ 前 $n$ 项和的公式.

\begin{solution} \begin{enumerate} \item 设等差数列的公差为 $d$，则 $a_2=2+d$，$a_3=2+2d$. 由 $a_1+a_2+a_3=12$ 得 $2+(2+d)+(2+2d)=12$，即 $6+3d=12$，所以 $d=2$. 因此 $a_n=a_1+(n-1)d=2+2(n-1)=2n$. \item 由上一问 $b_n=2nx^n$. 设前 $n$ 项和为 $S_n$，则 $S_n=2x+4x^2+\cdots+2nx^n$. 当 $x\ne1$ 时，将等式两边乘以 $x$，得 $xS_n=2x^2+4x^3+\cdots+2nx^{n+1}$，两式相减可得 $(1-x)S_n=2(x+x^2+\cdots+x^n-nx^{n+1})$. 又 $x+x^2+\cdots+x^n=\frac{x(1-x^n)}{1-x}$，所以 $S_n=\frac{2\left[x-(n+1)x^{n+1}+nx^{n+2}\right]}{(1-x)^2}$. 当 $x=1$ 时，$S_n=2(1+2+\cdots+n)=n(n+1)$. 因而前 $n$ 项和为 \end{enumerate} \end{solution}

如图，正三棱柱 $ABC-A_1B_1C_1$ 的底面边长为 $3$，侧棱 $AA_1=\frac{3\sqrt{3}}{2}$，$D$ 是 $CB$ 延长线上一点，且 $BD=BC$.

(1) 求证：直线 $BC_1\parallel$ 平面 $AB_1D$； (2) 求二面角 $B_1-AD-B$ 的大小； (3) 求三棱锥 $C_1-ABB_1$ 的体积.

\begin{solution} 令 $h=\frac{3\sqrt{3}}{2}$，建立直角坐标系，使 $B(0,0,0)$，$C(3,0,0)$，$A(\frac32,h,0)$，且棱柱沿 $z$ 轴方向延伸. 由 $C$，$B$，$D$ 依次在同一直线上且 $BD=BC=3$，得 $D(-3,0,0)$，又 $B_1(0,0,h)$，$C_1(3,0,h)$. \begin{enumerate} \item 由坐标直接得到 $\overrightarrow{BC_1}=(3,0,h)=\overrightarrow{DB_1}$. 直线 $DB_1$ 在平面 $AB_1D$ 内，且平面 $AB_1D$ 的方程为 $h(x+3)-\frac92y-3z=0$，点 $B$ 不在此平面内. 因此 $BC_1\parallel DB_1$，且 $BC_1$ 平行于平面 $AB_1D$. \item 平面 $ADB$ 是底面所在的平面，其一个法向量为 $\boldsymbol{n}_2=(0,0,1)$. 平面 $ADB_1$ 内取 $\overrightarrow{DA}=(\frac92,h,0)$，$\overrightarrow{DB_1}=(3,0,h)$，于是其一个法向量为 $\boldsymbol{n}_1=\overrightarrow{DA}\times\overrightarrow{DB_1}=(h^2,-\frac92h,-3h)$. 代入 $h=\frac{3\sqrt3}{2}$ 得 $\lVert\boldsymbol{n}_1\rVert=9\sqrt3$，且 $\lvert\boldsymbol{n}_1\cdot\boldsymbol{n}_2\rvert=3h=\frac{9\sqrt3}{2}$. 设二面角 $B_1-AD-B$ 的平面角为 $\theta$，则 $\cos\theta=\frac{\lvert\boldsymbol{n}_1\cdot\boldsymbol{n}_2\rvert}{\lVert\boldsymbol{n}_1\rVert\lVert\boldsymbol{n}_2\rVert}=\frac12$，所以 $\theta=60^{\circ}$. \item 三角形 $ABB_1$ 是直角三角形，故 $S_{\triangle ABB_1}=\frac12\cdot AB\cdot BB_1=\frac12\cdot3\cdot h=\frac{9\sqrt3}{4}$. 平面 $ABB_1$ 是过 $AB$ 的竖直平面，点 $C_1$ 到该平面的距离等于底面内点 $C$ 到边 $AB$ 的距离，即正三角形 $ABC$ 的高 $h$. 因此三棱锥 $C_1-ABB_1$ 的体积为 $V=\frac13S_{\triangle ABB_1}h=\frac13\cdot\frac{9\sqrt3}{4}\cdot\frac{3\sqrt3}{2}=\frac{27}{8}$. \end{enumerate} \end{solution}