若数列 $\{a_n\}$ 的通项公式是 $a_n=\frac{3^{-n}+2^{-n}+(-1)^n\left(3^{-n}-2^{-n}\right)}{2}$（$n=1$，$2$，$\dots$），则 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}(a_1+a_2+\cdots+a_n)$ 等于（ ）

\begin{solution} 当 $n$ 为奇数时，$(-1)^n=-1$，所以 $a_n=2^{-n}$；当 $n$ 为偶数时，$(-1)^n=1$，所以 $a_n=3^{-n}$. 因此 故应选 C. \end{solution}

已知数列 $\{a_n\}$ 是等差数列，且 $a_1=2$，$a_1+a_2+a_3=12$.

(1) 求数列 $\{a_n\}$ 的通项公式； (2) 令 $b_n=a_nx^n$（$x\in\mathbf{R}$）. 求数列 $\{b_n\}$ 前 $n$ 项和的公式.

\begin{solution} \begin{enumerate} \item 设等差数列的公差为 $d$，则 $a_2=2+d$，$a_3=2+2d$. 由 $a_1+a_2+a_3=12$ 得 $2+(2+d)+(2+2d)=12$，即 $6+3d=12$，所以 $d=2$. 因此 $a_n=a_1+(n-1)d=2+2(n-1)=2n$. \item 由上一问 $b_n=2nx^n$. 设前 $n$ 项和为 $S_n$，则 $S_n=2x+4x^2+\cdots+2nx^n$. 当 $x\ne1$ 时，将等式两边乘以 $x$，得 $xS_n=2x^2+4x^3+\cdots+2nx^{n+1}$，两式相减可得 $(1-x)S_n=2(x+x^2+\cdots+x^n-nx^{n+1})$. 又 $x+x^2+\cdots+x^n=\frac{x(1-x^n)}{1-x}$，所以 $S_n=\frac{2\left[x-(n+1)x^{n+1}+nx^{n+2}\right]}{(1-x)^2}$. 当 $x=1$ 时，$S_n=2(1+2+\cdots+n)=n(n+1)$. 因而前 $n$ 项和为 \end{enumerate} \end{solution}