已知函数 $f(x)=\cos^{4}x-2\sin x\cos x-\sin^{4}x$.

(1) 求 $f(x)$ 的最小正周期； (2) 若 $x\in\left[0,\frac{\pi}{2}\right]$，求 $f(x)$ 的最大值，最小值.

\begin{solution} \begin{enumerate} \item 由 $\cos^4x-\sin^4x=(\cos^2x-\sin^2x)(\cos^2x+\sin^2x)=\cos 2x$，且 $2\sin x\cos x=\sin 2x$，得 $f(x)=\cos 2x-\sin 2x=\sqrt{2}\cos\left(2x+\frac{\pi}{4}\right)$. 因为自变量 $x$ 的系数为 $2$，所以 $f(x)$ 的最小正周期为 $T=\frac{2\pi}{2}=\pi$. \item 令 $t=2x$，则 $t\in[0,\pi]$，并设 $\varphi(t)=\cos t-\sin t$，于是 $f(x)=\varphi(t)$. 有 $\varphi'(t)=-\sin t-\cos t$，在区间 $[0,\pi]$ 内令 $\varphi'(t)=0$，得 $t=\frac{3\pi}{4}$. 比较端点和驻点的函数值：$\varphi(0)=1$，$\varphi(\frac{3\pi}{4})=-\sqrt{2}$，$\varphi(\pi)=-1$. 因而当 $t=0$，即 $x=0$ 时，$f(x)$ 取得最大值 $1$；当 $t=\frac{3\pi}{4}$，即 $x=\frac{3\pi}{8}$ 时，$f(x)$ 取得最小值 $-\sqrt{2}$. \end{enumerate} \end{solution}