设 $O$ 为坐标原点，$P$ 是以 $F$ 为焦点的抛物线 $y^2=2px$（$p>0$）上任意一点，$M$ 是线段 $PF$ 上的点，且 $\left|PM\right|=2\left|MF\right|$，则直线 $OM$ 的斜率的最大值为（ ）

\begin{solution} 抛物线 $y^2=2px$ 的焦点为 $F\left(\dfrac p2,0\right)$.设 $P=(x,y)$，则 由 $PM:MF=2:1$，内分公式给出 令 $t=\dfrac yp$，则 $x=\dfrac p2t^2$，从而直线 $OM$ 的斜率为 由于 所以 $k\leq\dfrac{\sqrt2}{2}$，且 $t=\sqrt2$ 时取等号.因此最大值为 $\dfrac{\sqrt2}{2}$，选 C. \end{solution}