在正四棱锥 $P - ABCD$ 中，若侧面与底面所成二面角的大小为 $60^{\circ}$，则异面直线 $PA$ 与 $BC$ 所成角的大小等于______. （结果用反三角函数值表示）

方程 $x^{3} + \lg x = 18$ 的根 $x \approx\underline{\hspace{2em}}$. （结果精确到 $0.1$）

给出问题： $F_{1}$，$F_{2}$ 是双曲线 $\frac{x^{2}}{16}-\frac{y^{2}}{20}=1$ 的焦点，点 $P$ 在双曲线上. 若点 $P$ 到焦点 $F_{1}$ 的距离等于 $9$，求点 $P$ 到焦点 $F_{2}$ 的距离. 某学生的解答如下：双曲线的实轴长为 $8$，由 $\left|PF_{1}\right| - \left|PF_{2}\right| = 8$，即 $\left|9 - \left|PF_{2}\right|\right| = 8$，得 $\left|PF_{2}\right| = 1$ 或 $17$. 该学生的解答是否正确？若正确，请将他的解题依据填在下面空格内，若不正确，将正确的结果填在下面空格内______.

$a_{1}$，$b_{1}$，$c_{1}$，$a_{2}$，$b_{2}$，$c_{2}$ 均为非零实数，不等式 $a_{1}x^{2} + b_{1}x + c_{1} > 0$ 和 $a_{2}x^{2} + b_{2}x + c_{2} > 0$ 的解集分别为集 $M$ 和 $N$，那么 $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$ 是“$M = N$”的（ ）

已知数列 $\{a_{n}\}$ （$n$ 为正整数）是首项是 $a_{1}$，公比为 $q$ 的等比数列.

(1) 求和：$a_{1}\mathrm C_{2}^{0} - a_{2}\mathrm C_{2}^{1} + a_{3}\mathrm C_{2}^{2}$，$a_{1}\mathrm C_{3}^{0} - a_{2}\mathrm C_{3}^{1} + a_{3}\mathrm C_{3}^{2} - a_{4}\mathrm C_{3}^{3}$. (2) 由前一问的结果归纳概括出关于正整数 $n$ 的一个结论，并加以证明；