定义在区间 $\left(0,\frac{\pi}{2}\right)$ 上的函数 $y=6\cos x$ 的图象与 $y=5\tan x$ 的图象交于点 $P$，过点 $P$ 作 $x$ 轴的垂线，垂足为 $P_1$，直线 $PP_1$ 与 $y=\sin x$ 的图象交于点 $P_2$，则线段 $P_1P_2$ 的长为______.

已知 $\triangle ABC$ 的三边长都是有理数.

(1) 求证：$\cos A$ 是有理数； (2) 求证：对任意正整数 $n$，$\cos nA$ 是有理数.