在平面直角坐标系中，双曲线 $\Gamma$ 的中心在原点，它的一个焦点坐标为 $(\sqrt{5},0)$，$\boldsymbol{e}_1 = (2,1)$，$\boldsymbol{e}_2 = (2,-1)$ 分别是两条渐近线的方向向量. 任取双曲线 $\Gamma$ 上的点 $P$，若 $\overrightarrow{OP} = a\boldsymbol{e}_1 + b\boldsymbol{e}_2$（$a$，$b \in \mathbf{R}$），则 $a$，$b$ 满足的一个等式是______.

将直线 $l_1: x + y - 1 = 0$，$l_2: nx + y - n = 0$，$l_3: x + ny - n = 0$ （$n \in \mathbf{N}^*$，$n \geqslant 2$）围成的三角形面积记为 $S_n$. 则 $\displaystyle\lim_{n \to \infty} S_n =$______.