在 $n$ 行 $n$ 列矩阵 中，记位于第 $i$ 行第 $j$ 列的数为 $a_{ij}$，$i$，$j = 1$，$2$，$\cdots$，$n$. 当 $n = 9$ 时， $a_{11} + a_{22} + a_{33} + \cdots + a_{99} =$______.