若直线 $mx+ny-3=0$ 与圆 $x^2+y^2=3$ 没有公共点，则 $m$，$n$ 满足的关系式为______；以 $(m,n)$ 为点 $P$ 的坐标，过点 $P$ 的一条直线与椭圆 $\dfrac{x^2}{7}+\dfrac{y^2}{3}=1$ 的公共点有______$\text{个}$.

已知点 $A(2,8)$，$B(x_1,y_1)$，$C(x_2,y_2)$ 在抛物线 $y^2=2px$ 上，$\triangle ABC$ 的重心与此抛物线的焦点 $F$ 重合（如图）.

(1) 写出该抛物线的方程和焦点 $F$ 的坐标； (2) 求线段 $BC$ 中点 $M$ 的坐标； (3) 求 $BC$ 所在直线的方程.