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07不等式★★★☆☆
已知 a>0a > 0，b>0b > 0，a+b=2a + b = 2，则 y=1a+4by = \frac{1}{a} + \frac{4}{b} 的最小值是（ ）
\begin{answer} C \end{answer}
\begin{solution} 由柯西不等式，得 y=12a+22b⩾(1+2)2a+b=92y=\dfrac{1^2}{a}+\dfrac{2^2}{b}\geqslant\dfrac{(1+2)^2}{a+b}=\frac{9}{2}. 当且仅当 1a=2b\dfrac{1}{a}=\dfrac{2}{b}，即 b=2ab=2a 时取等号. 联立 a+b=2a+b=2，得 a=23a=\frac{2}{3}，b=43b=\frac{4}{3}，此时 y=92y=\frac{9}{2}，故选 C. \end{solution}
A.
72\frac{7}{2}
B.
4
C.
92\frac{9}{2}
D.
5

2011 · 重庆 · 理 · 第 7 题 · 选择题

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08解析几何★★★☆☆
在圆 x2+y2−2x−6y=0x^{2} + y^{2} - 2x - 6y = 0 内，过点 E(0,1)E(0,1) 的最长弦和最短弦分别为 ACAC 和 BDBD，则四边形 ABCDABCD 的面积为（ ）
\begin{answer} B \end{answer}
\begin{solution} 将圆的方程化为 (x−1)2+(y−3)2=10(x-1)^2+(y-3)^2=10，故圆心为 O(1,3)O(1,3)，半径为 10\sqrt{10}，且 OE=(1−0)2+(3−1)2=5OE=\sqrt{(1-0)^2+(3-1)^2}=\sqrt{5}. 过点 EE 的最长弦是过圆心的直径，因此 AC=210AC=2\sqrt{10}. 对于过 EE 的弦，弦长为 210−d22\sqrt{10-d^2}，其中 dd 是圆心到弦的距离；当弦垂直于 OEOE 时，dd 取最大值 OE=5OE=\sqrt{5}，所以最短弦 BD=210−5=25BD=2\sqrt{10-5}=2\sqrt{5}. 此时 AC⊥BDAC\perp BD，故 SABCD=12AC⋅BD=12⋅210⋅25=102S_{ABCD}=\frac{1}{2}AC\cdot BD=\frac{1}{2}\cdot2\sqrt{10}\cdot2\sqrt{5}=10\sqrt{2}，故选 B. \end{solution}
A.
525\sqrt{2}
B.
10210\sqrt{2}
C.
15215\sqrt{2}
D.
20220\sqrt{2}

2011 · 重庆 · 理 · 第 8 题 · 选择题

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14三角函数★★★☆☆
已知 sin⁡α=12+cos⁡α\sin \alpha = \frac{1}{2} + \cos \alpha，且 α∈(0,π2)\alpha \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right)，则 cos⁡2αsin⁡(α−π4)\frac{\cos 2\alpha}{\sin \left(\alpha - \frac{\pi}{4}\right)} 的值为______. \begin{answer} −142-\frac{\sqrt{14}}{2} \end{answer}
\begin{solution} 令 s=sin⁡αs=\sin\alpha，c=cos⁡αc=\cos\alpha，则 s−c=12s-c=\frac{1}{2}. 由 s2+c2=1s^2+c^2=1，得 1−2sc=(s−c)2=141-2sc=(s-c)^2=\frac{1}{4}，所以 sc=38sc=\frac{3}{8}. 又因 α∈(0,π2)\alpha\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right)，有 s+c>0s+c>0，从而 (s+c)2=1+2sc=74(s+c)^2=1+2sc=\frac{7}{4}，即 s+c=72s+c=\frac{\sqrt{7}}{2}. 因此 cos⁡2α=c2−s2=(c−s)(c+s)=−74\cos2\alpha=c^2-s^2=(c-s)(c+s)=-\frac{\sqrt{7}}{4}，且 sin⁡(α−π4)=s−c2=24\sin\left(\alpha-\frac{\pi}{4}\right)=\frac{s-c}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{4}. 所以原式等于 −7424=−142\frac{-\frac{\sqrt{7}}{4}}{\frac{\sqrt{2}}{4}}=-\frac{\sqrt{14}}{2}. \end{solution}

2011 · 重庆 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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16三角函数★★★☆☆
设 a∈Ra \in \mathbf{R}，f(x)=cos⁡x(asin⁡x−cos⁡x)+cos⁡2(π2−x)f(x) = \cos x (a \sin x - \cos x) + \cos^2 \left(\frac{\pi}{2} - x\right) 满足 f(−π3)=f(0)f\left(-\frac{\pi}{3}\right) = f(0)，求函数 f(x)f(x) 在 [π4,11π24]\left[\frac{\pi}{4}, \frac{11\pi}{24}\right] 上的最大值和最小值.

2011 · 重庆 · 理 · 第 16 题 · 解答题

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17概率与统计★★★☆☆
某市公租房的房源位于 AA，BB，CC 三个片区. 设每位申请人只申请其中一个片区的房源. 且申请其中任一个片区的房源是等可能的. 求该市的任 44 位申请人中：
(1) 恰有 2 人申请 AA 片区的房源的概率； (2) 申请的房源所在片区的个数 ξ\xi 的分布列与期望.

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18导数及其应用★★★☆☆
设 f(x)=x3+ax2+bx+1f(x) = x^3 + ax^2 + bx + 1 的导数 f′(x)f'(x) 满足 f′(1)=2af'(1) = 2a，f′(2)=−bf'(2) = -b，其中常数 aa，b∈Rb \in \mathbf{R}.
(1) 求曲线 y=f(x)y = f(x) 在点 (1,f(1))(1, f(1)) 处的切线方程； (2) 设 g(x)=f′(x)e−xg(x) = f'(x) \mathrm{e}^{-x}，求函数 g(x)g(x) 的极值.

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