已知 $\sin \alpha = \frac{1}{2} + \cos \alpha$，且 $\alpha \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right)$，则 $\frac{\cos 2\alpha}{\sin \left(\alpha - \frac{\pi}{4}\right)}$ 的值为______. \begin{answer} $-\frac{\sqrt{14}}{2}$ \end{answer}

\begin{solution} 令 $s=\sin\alpha$，$c=\cos\alpha$，则 $s-c=\frac{1}{2}$. 由 $s^2+c^2=1$，得 $1-2sc=(s-c)^2=\frac{1}{4}$，所以 $sc=\frac{3}{8}$. 又因 $\alpha\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right)$，有 $s+c>0$，从而 $(s+c)^2=1+2sc=\frac{7}{4}$，即 $s+c=\frac{\sqrt{7}}{2}$. 因此 $\cos2\alpha=c^2-s^2=(c-s)(c+s)=-\frac{\sqrt{7}}{4}$，且 $\sin\left(\alpha-\frac{\pi}{4}\right)=\frac{s-c}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{4}$. 所以原式等于 $\frac{-\frac{\sqrt{7}}{4}}{\frac{\sqrt{2}}{4}}=-\frac{\sqrt{14}}{2}$. \end{solution}

设 $a \in \mathbf{R}$，$f(x) = \cos x (a \sin x - \cos x) + \cos^2 \left(\frac{\pi}{2} - x\right)$ 满足 $f\left(-\frac{\pi}{3}\right) = f(0)$，求函数 $f(x)$ 在 $\left[\frac{\pi}{4}, \frac{11\pi}{24}\right]$ 上的最大值和最小值.