设复数 $z_1$ 和 $z_2$ 满足关系式 $z_1\overline{z_2} + \overline{A}z_1 + A\overline{z_2} = 0$，其中 $A$ 为不等于 $0$ 的复数. 证明：

(1) $|z_1 + A||z_2 + A| = |A|^2$； (2) $\frac{z_1 + A}{z_2 + A} = \left|\frac{z_1 + A}{z_2 + A}\right|$.