如图，在直棱柱 $ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ 中，$AD \parallel BC$，$\angle BAD = 90^{\circ}$，$AC \perp BD$，$BC = 1$，$AD = AA_{1} = 3$.

(1) 证明： $AC \perp B_{1}D$； (2) 求直线 $B_{1}C_{1}$ 与平面 $ACD_{1}$ 所成角的正弦值.