已知函数 $f(x) = \sin \left(x - \frac{\pi}{6}\right) + \cos \left(x - \frac{\pi}{3}\right)$，$g(x) = 2\sin^2\frac{x}{2}$.

(1) 若 $\alpha$ 是第一象限角，且 $f(\alpha) = \frac{3\sqrt{3}}{5}$，求 $g(\alpha)$ 的值； (2) 求使 $f(x) \geqslant g(x)$ 成立的 $x$ 的取值集合.