已知函数 其中 $f_{1}(x)=-2\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}+1$，$f_{2}(x)=-2x+2$.

(1) 在下面坐标系上画出 $y=f(x)$ 的图象； (2) 设 $y=f_{2}(x)$（$x\in\left[\frac{1}{2},1\right]$）的反函数为 $y=g(x)$，$a_{1}=1$，$a_{2}=g(a_{1})$，$\dots$，$a_{n}=g(a_{n-1})$，求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式，并求 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_{n}$； (3) 若 $x_{0}\in\left[0,\frac{1}{2}\right)$，$x_{1}=f(x_{0})$，$f(x_{1})=x_{0}$，求 $x_{0}$.