一船在 $A$ 点测得灯塔 $C$ 在其北偏东 $45^\circ$ 的方向，此船以每小时 $18\text{ 海里}$ 的速度向南航行半小时至 $B$ 后，又测得灯塔在其北偏东 $15^\circ$ 的方向，求此时船与灯塔的距离 $BC$.

某生产队准备在一边靠墙的地方建一个长方形的猪圈，现有一堆旧砖，可以垒成 $20\mathrm{~m}$ 长的围墙（门在内）. 问应怎样选取猪圈的宽才能使垒成的猪圈面积最大？最大面积是多少？