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17不等式★★★☆☆
解不等式 ∣2x−1−x∣<2\left|\sqrt{2x-1}-x\right|<2.
\begin{solution} 由根式有意义知 x⩾12x\geqslant\frac{1}{2}. 令 t=2x−1t=\sqrt{2x-1}，则 t⩾0t\geqslant0，且 x=t2+12x=\frac{t^{2}+1}{2}. 原不等式化为
∣t−t2+12∣<2⟺(t−1)22<2⟺(t−1)2<4\left|t-\frac{t^{2}+1}{2}\right|<2 \Longleftrightarrow \frac{(t-1)^{2}}{2}<2 \Longleftrightarrow (t-1)^{2}<4
因此 −1<t<3-1<t<3. 结合 t⩾0t\geqslant0，得 0⩽t<30\leqslant t<3，从而
12⩽x=t2+12<5\frac{1}{2}\leqslant x=\frac{t^{2}+1}{2}<5
所以不等式的解集为 [12,5)\left[\frac{1}{2},5\right). \end{solution}

2002 · 北京 · 秋季 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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