设命题甲：“直四棱柱 $ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ 中，平面 $ACB_{1}$ 与对角面 $BB_{1}D_{1}D$ 垂直”；命题乙：“直四棱柱 $ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ 是正方体”，那么甲是乙的（ ）

\begin{solution} 先说明必要性. 若直四棱柱是正方体，设其棱长为 $a$，取 $A=(0,0,0)$，$B=(a,0,0)$，$C=(a,a,0)$，$D=(0,a,0)$. 再取 $B_{1}=(a,0,a)$，$D_{1}=(0,a,a)$. 平面 $ACB_{1}$ 内两条相交直线的方向向量可取 $\overrightarrow{AC}=(a,a,0)$、$\overrightarrow{AB_{1}}=(a,0,a)$，其法向量可取 $(1,-1,-1)$. 平面 $BB_{1}D_{1}D$ 内两条相交直线的方向向量可取 $\overrightarrow{BD}=(-a,a,0)$、$\overrightarrow{BB_{1}}=(0,0,a)$，其法向量可取 $(1,1,0)$. 两法向量的内积为 $1-1+0=0$，故两平面垂直，所以甲是乙的必要条件.

再说明不充分性. 取底面为边长 $a$ 的正方形、高为任意 $h>0$ 且 $h\ne a$ 的直四棱柱，并仍取上述底面坐标，令 $B_{1}=(a,0,h)$，$D_{1}=(0,a,h)$. 此时平面 $ACB_{1}$ 与平面 $BB_{1}D_{1}D$ 的法向量可分别取为 $(ah,-ah,-a^{2})$ 与 $(1,1,0)$，二者内积为 $0$，所以甲成立；但由于 $h\ne a$，该棱柱不是正方体. 因此甲不是乙的充分条件，故选 C. \end{solution}