已知 $ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ 是底面边长为 $1$ 的正四棱柱，高 $AA_{1} = 2$，求：

(1) 异面直线 $BD$ 与 $AB_{1}$ 所成角的余弦值； (2) 四面体 $AB_{1}D_{1}C$ 的体积.